Gráficos de movimento Introdução à discussão Por que existem tantas equações neste livro Por que os físicos não podem se contentar com a palavra escrita como todos os outros Não seria mais fácil falar diretamente em vez de encobrir idéias por trás de criptogramas matemáticos A notação matemática moderna é uma forma altamente compacta de Codificar idéias. As equações podem facilmente conter a informação equivalente a várias sentenças. A descrição de Galileos de um objeto que se move com velocidade constante (talvez a primeira aplicação da matemática ao movimento) requereu uma definição, quatro axiomas e seis teoremas. Todas essas relações podem agora ser escritas em uma única equação. Quando se trata de profundidade, nada bate uma equação. Bem, quase nada. Pense na seção anterior sobre as equações do movimento. Você deve lembrar que as três (ou quatro) equações apresentadas nessa seção foram válidas somente para movimentos com aceleração constante ao longo de uma linha reta. Uma vez que, como acertadamente assinalado, nenhum objeto já viajou em uma linha reta com aceleração constante em qualquer lugar do universo a qualquer momento, essas equações são apenas aproximadamente verdadeiras, apenas de vez em quando. As equações são ótimas para descrever situações idealizadas, mas elas nem sempre o cortam. Às vezes você precisa de uma imagem para mostrar o que está acontecendo em uma imagem matemática chamada de gráfico. Gráficos são muitas vezes a melhor maneira de transmitir descrições de eventos do mundo real em uma forma compacta. Gráficos de movimento vêm em vários tipos dependendo de qual das quantidades cinemáticas (tempo, deslocamento, velocidade, aceleração) são atribuídos a que eixo. Deslocamento-tempo Vamos começar por graficar alguns exemplos de movimento a uma velocidade constante. Três curvas diferentes são incluídas no gráfico à direita, cada uma com um deslocamento inicial de zero. Observe primeiro que os gráficos são todos retos. (Qualquer tipo de linha traçada em um gráfico é chamada de curva, mesmo uma linha reta é chamada de curva em matemática.) Isso é esperado dada a natureza linear da equação apropriada. (A variável independente de uma função linear é elevada não mais alta que a primeira potência.) Compare a equação de deslocamento-tempo para velocidade constante com a equação clássica de inclinação-interceptação ensinada na álgebra introdutória. Assim, a velocidade corresponde à inclinação e deslocamento inicial para a intercepção no eixo vertical (comumente considerado como o eixo quotyquot). Como cada um desses gráficos tem sua interceptação na origem, cada um desses objetos teve o mesmo deslocamento inicial. Este gráfico poderia representar uma corrida de algum tipo onde os competidores estavam todos alinhados na linha de partida (embora, a essas velocidades, deve ter sido uma corrida entre tartarugas). Se fosse uma corrida, então os competidores já estavam se movendo quando a corrida começou, já que cada curva tem um declive não-zero no início. Note que a posição inicial sendo zero não implica necessariamente que a velocidade inicial é também zero. A altura de uma curva não diz nada sobre sua inclinação. Em uma curva de deslocamento-tempo gráfico é igual a velocidade. O quotyquot intercepto é igual ao deslocamento inicial. Quando duas curvas coincidem, os dois objetos têm o mesmo deslocamento naquele momento. Em contraste com os exemplos anteriores, vamos representar graficamente o deslocamento de um objeto com uma constante, não-zero aceleração a partir de descanso na origem. A principal diferença entre esta curva e aqueles no gráfico anterior é que esta curva realmente curvas. A relação entre deslocamento e tempo é quadrática quando a aceleração é constante e, portanto, esta curva é uma parábola. (A variável de uma função quadrática é elevada não superior à segunda potência.) Como um exercício, vamos calcular a aceleração deste objeto de seu gráfico. Ele intercepta a origem, então seu deslocamento inicial é zero, o exemplo indica que a velocidade inicial é zero, eo gráfico mostra que o objeto percorreu 9 m em 10 s. Esses números podem então ser inseridos na equação. Quando um gráfico de tempo de deslocamento é curvo, não é possível calcular a velocidade a partir de sua inclinação. Inclinação é uma propriedade de linhas retas apenas. Tal objeto não tem uma velocidade porque não tem uma inclinação. As palavras quotthequot e quotaquot são sublinhadas aqui para enfatizar a idéia de que não existe uma única velocidade nestas circunstâncias. A velocidade desse objeto deve estar mudando. Está acelerando. Em um gráfico de tempo de deslocamento, as rectas implicam uma velocidade constante. Linhas curvas implicam aceleração. Um objeto em constante aceleração traça uma porção de uma parábola. Embora nosso objeto hipotético não tenha uma única velocidade, ele ainda tem uma velocidade média e uma coleção contínua de velocidades instantâneas. A velocidade média de qualquer objeto pode ser encontrada dividindo o deslocamento total pelo tempo total. Isto é o mesmo que calcular a inclinação da linha reta que liga o primeiro eo último ponto na curva como mostrado no diagrama à direita. Neste exemplo abstrato, a velocidade média do objeto foi medida que os pontos extremos da linha de velocidade média se aproximam, tornam-se um melhor indicador da velocidade real. Quando os dois pontos coincidem, a linha é tangente à curva. Este processo de limite é representado na animação à direita. Em um gráfico de tempo de deslocamento, a velocidade média é a inclinação da linha reta que conecta os pontos finais de uma curva. Velocidade instantânea é a inclinação da linha tangente a uma curva em qualquer ponto. Sete tangentes foram adicionadas ao nosso gráfico de deslocamento-tempo genérico na animação mostrada acima. Observe que a inclinação é zero duas vezes 8212 uma vez no topo da colisão em 3,0 s e novamente na parte inferior da dent em 6,5 s. (A protuberância é um máximo local, enquanto a dent é um mínimo local, coletivamente tais pontos são conhecidos como extremos locais.) A inclinação de uma linha horizontal é zero, significando que o objeto estava imóvel naqueles momentos. Como o gráfico não é plano, o objeto ficou apenas em repouso por um instante antes de começar a se mover novamente. Embora sua posição não estivesse mudando naquele tempo, sua velocidade era. Esta é uma noção que muitas pessoas têm dificuldade com. É possível estar acelerando e ainda não se movendo (mas apenas por um instante, é claro). Observe também que a inclinação é negativa no intervalo entre a colisão em 3 s ea dent em 6,5 s. Alguns interpretam isso como movimento em sentido inverso, mas isso geralmente é o caso Bem, este é um exemplo abstrato. Não é acompanhado por qualquer texto. Os gráficos contêm muitas informações, mas sem um título ou outra forma de descrição elas não têm significado. O que este gráfico representa Uma pessoa Um carro Um elevador Um rinoceronte Um asteróide Um pingo de poeira Tudo o que podemos dizer é que este objeto estava se movendo em primeiro lugar, desacelerou para parar, inverteu a direção, parou novamente e então retomou o movimento na Direção que começou com (qualquer direção que foi). Inclinação negativa não significa automaticamente dirigindo para trás, ou andando para a esquerda, ou caindo. A escolha dos sinais é sempre arbitrária. Sobre tudo o que podemos dizer em geral, é que quando a inclinação é negativa, o objeto está viajando na direção negativa. Em um gráfico de deslocamento-tempo o declive positivo implica movimento na direção positiva. A inclinação negativa implica movimento na direção negativa. Declive zero implica um estado de repouso. Velocidade-tempo A coisa mais importante a lembrar sobre os gráficos de velocidade-tempo é que eles são gráficos de velocidade-tempo, não gráficos de tempo de deslocamento. Há algo sobre um gráfico de linha que faz as pessoas pensarem que estão olhando para o caminho de um objeto. Um erro comum de iniciantes é olhar para o gráfico à direita e pensar que a linha v 9.0 ms corresponde a um objeto que é quotigherquot do que os outros objetos. Não pense assim. Está errado. Não olhe para estes gráficos e pense neles como uma imagem de um objeto em movimento. Em vez disso, pense neles como o registro de uma velocidade de objetos. Nesses gráficos, maior significa mais rápido não mais longe. A linha v 9.0 ms é maior porque esse objeto está se movendo mais rápido que os outros. Estes gráficos particulares são todos horizontais. A velocidade inicial de cada objeto é a mesma que a velocidade final é a mesma que toda velocidade no meio. A velocidade de cada um desses objetos é constante durante este intervalo de dez segundos. Em comparação, quando a curva em um gráfico velocidade-tempo é reta, mas não horizontal, a velocidade está mudando. As três curvas à direita têm uma inclinação diferente. O gráfico com a inclinação mais íngreme experimenta a mudança mais rápida na velocidade. Esse objeto tem a maior aceleração. Compare a equação velocidade-tempo para aceleração constante com a equação clássica de inclinação-interceptação ensinada na álgebra introdutória. Sete tangentes foram adicionadas ao nosso gráfico de velocidade-tempo genérico na animação mostrada acima. Observe que a inclinação é zero duas vezes 8212 uma vez no topo da colisão em 3,0 s e novamente na parte inferior da dent em 6,5 s. A inclinação de uma linha horizontal é zero, significando que o objeto parou de acelerar instantaneamente nesses momentos. A aceleração pode ter sido zero nessas duas vezes, mas isso não significa que o objeto parou. Para que isso ocorra, a curva teria que interceptar o eixo horizontal. Isso aconteceu apenas uma vez 8212 no início do gráfico. Em ambas as vezes quando a aceleração era zero, o objeto ainda estava se movendo na direção positiva. Você também deve notar que a inclinação foi negativa de 3,0 s para 6,5 s. Durante este tempo a velocidade estava diminuindo. No entanto, isso não é verdade em geral. A velocidade diminui sempre que a curva retorna à origem. Acima do eixo horizontal, este seria um declive negativo, mas abaixo dele seria um declive positivo. Sobre a única coisa que se pode dizer sobre uma inclinação negativa em um gráfico de velocidade-tempo é que durante tal intervalo, a velocidade está se tornando mais negativa (ou menos positiva, se você preferir). Num gráfico de velocidade-tempo o declive positivo implica um aumento na velocidade na direcção positiva. Inclinação negativa implica um aumento na velocidade na direcção negativa. Inclinação zero implica movimento com velocidade constante. Na cinemática, há três quantidades: deslocamento, velocidade e aceleração. Dado um gráfico de qualquer uma dessas quantidades, sempre é possível, em princípio, determinar os outros dois. Aceleração é a taxa de tempo de mudança de velocidade, de modo que pode ser encontrado a partir da inclinação de uma tangente à curva em um gráfico velocidade-tempo. Mas como poderia ser determinado o deslocamento Vamos explorar alguns exemplos simples e, em seguida, derivar o relacionamento. Comece com o gráfico simples velocidade-tempo mostrado à direita. (Por uma questão de simplicidade, vamos supor que o deslocamento inicial é zero.) Existem três intervalos importantes neste gráfico. Durante cada intervalo, a aceleração é constante como os segmentos de linha reta mostram. Quando a aceleração é constante, a velocidade média é apenas a média dos valores inicial e final em um intervalo. 0-4 s: Este segmento é triangular. A área de um triângulo é a metade da base vezes a altura. Essencialmente, acabamos de calcular a área do segmento triangular neste gráfico. A distância acumulada percorrida no final deste intervalo é de 16 m 36 m 20 m 72 m Espero que por agora que você vê a tendência. A área sob cada segmento é a mudança no deslocamento do objeto durante esse intervalo. Isto é verdade mesmo quando a aceleração não é constante. Qualquer um que tenha tomado um curso de cálculo deve ter sabido isso antes de lê-lo aqui (ou pelo menos quando eles lê-lo que deveria ter dito, oh, sim, eu me lembro quequot). A primeira derivada do deslocamento em relação ao tempo é a velocidade. A derivada de uma função é a inclinação de uma linha tangente à sua curva em um dado ponto. A operação inversa da derivada é chamada de integral. O integral de uma função é a área cumulativa entre a curva e o eixo horizontal durante algum intervalo. Esta relação inversa entre as ações de derivado (inclinação) e integral (área) é tão importante que seu chamado o teorema fundamental do cálculo. Isto significa que é uma relação importante. Aprenda-o Seu quotfundamentalquot. Você não viu o último disto. Em um gráfico velocidade-tempo, a área sob a curva é igual à mudança no deslocamento. Aceleração-tempo O gráfico de aceleração-tempo de qualquer objeto que viaja com uma velocidade constante é o mesmo. Isso é verdade independentemente da velocidade do objeto. Um avião que voa a uma velocidade constante de 600 mph (270 ms), uma preguiça andando com uma velocidade constante de 1 mph (0,4 ms) e uma batata de sofá deitada imóvel na frente da TV por horas terão todos os mesmos gráficos de aceleração-tempo 8212 Uma linha horizontal colineal com o eixo horizontal. Isso é porque a velocidade de cada um desses objetos é constante. Eles não estão acelerando. Suas acelerações são zero. Como com os gráficos de velocidade-tempo, o importante é lembrar que a altura acima do eixo horizontal não corresponde à posição ou velocidade, ela corresponde à aceleração. Se você tropeçar e cair em sua maneira à escola, sua aceleração para a terra é maior do que a experiência do youd em tudo mas em alguns carros do elevado desempenho com o quotpedal ao metalquot. Aceleração e velocidade são quantidades diferentes. Ir rápido não implica acelerar rapidamente. As duas quantidades são independentes uma da outra. Uma grande aceleração corresponde a uma rápida mudança de velocidade, mas não diz nada sobre os valores da própria velocidade. Quando a aceleração é constante, a curva de aceleração-tempo é uma linha horizontal. A taxa de mudança de aceleração com o tempo é uma quantidade sem sentido, então a inclinação da curva neste gráfico também não tem sentido. Aceleração não precisa ser constante, mas a taxa de tempo de mudança deste número não tem nome. Na superfície, a única informação que se pode obter a partir de um gráfico de aceleração-tempo é a aceleração a qualquer momento. Em uma curva de tempo de aceleração-tempo não tem sentido. O quotyquot intercepto é igual à aceleração inicial. Quando duas curvas coincidem, os dois objetos têm a mesma aceleração nesse momento. Um objeto em constante aceleração traça uma linha horizontal. Inclinação zero implica movimento com aceleração constante. Aceleração é a taxa de mudança de velocidade com o tempo. Transformar um gráfico velocidade-tempo em um gráfico aceleração-tempo significa calcular a inclinação de uma linha tangente à curva em qualquer ponto. (No cálculo, isso é chamado de encontrar a derivada.) O processo inverso implica calcular a área cumulativa sob a curva. (No cálculo, isso é chamado de encontrar a integral.) Esse número é então a mudança de valor em um gráfico de velocidade-tempo. Dada uma velocidade inicial de zero (e assumindo que down é positivo), a velocidade final da pessoa que cai no gráfico para a direita é Gráficos de MotionEconomic interpretação de operações de cálculo - univariante Slope como taxa marginal de mudança Uma maneira muito clara de ver Como o cálculo nos ajuda a interpretar informações econômicas e relacionamentos é comparar funções totais, médias e marginais. Tomemos, por exemplo, uma função de custo total, TC: Para um dado valor de Q, digamos Q10, podemos interpretar essa função como dizendo que: quando produzimos 10 unidades desse bem, o custo total é de 190. Gostaríamos Para saber mais sobre como os custos evoluem ao longo do ciclo de produção, então vamos calcular o custo médio, que é o custo total dividido pelo número de unidades produzidas, ou Q: Portanto, quando produzimos 10 unidades desse bem, o custo médio por unidade é 19. Isso é um tanto enganador, porém, porque ainda não sabemos como os custos evoluem ou mudam à medida que produzimos. Por exemplo, a primeira unidade (Q1) custa 10 para produzir. Obviamente, se a média acabar sendo 19, eo primeiro custo unitário 10, então o custo de produção de uma unidade deve estar mudando como nós produzimos unidades diferentes. Alternativamente, para ser mais técnico, a mudança no custo total não é a mesma toda vez que mudamos Q. Vamos definir essa mudança no custo total para uma determinada mudança em Q como o custo marginal. Som familiar A inclinação é definida como a taxa de variação da variável Y (custo total, neste caso) para uma dada mudança na variável X (Q, ou unidades do bem). Portanto, tomar a primeira derivada ou calcular a fórmula para a inclinação pode determinar o custo marginal para um bem particular. E quanto à mudança no custo marginal Dessa forma, não podemos apenas avaliar os custos em um nível particular, mas podemos ver como nossos custos marginais estão mudando à medida que aumentamos ou diminuímos nosso nível de produção. Graças ao nosso fundo de cálculo, é claro que a mudança no custo marginal ou mudança na inclinação pode ser calculada tomando a segunda derivada. Estas três equações agora nos dão uma quantidade considerável de informações sobre o processo de custo, em um formato muito claro. Por exemplo, calcule o custo marginal da produção da 100ª unidade deste bem. Agora, suponha que seu chefe quer que você preveja os custos para a 101ª unidade. Você pode recalcular o custo marginal, ou você pode notar que a segunda derivada diz que o custo marginal é esperado para mudar por um aumento de dois, para cada aumento de uma unidade em Q. Portanto, para resumir, você pode começar com uma função , Tomam as derivadas primeira e segunda e possuem grande quantidade de informações sobre a relação entre as variáveis, incluindo valores totais, mudanças nos valores totais e mudanças nos valores marginais. Características dos máximos e mínimos relativos e absolutos As derivadas primeira e segunda também podem ser usadas para procurar pontos máximos e mínimos de uma função. Por exemplo, os objetivos econômicos poderiam incluir maximizar o lucro, minimizar o custo, ou maximizar a utilidade, entre outros. Para entender as características dos pontos ótimos, comece com características da própria função. Uma função, em um dado ponto, é definida como côncava se a função estiver abaixo da linha tangente próxima desse ponto. Para esclarecer, imagine um gráfico de uma parábola que se abre para baixo. Agora, considere o ponto no topo da parábola. Por definição, uma linha tangente a esse ponto seria uma linha horizontal. Está claro que o gráfico da parte superior da parábola, na vizinhança do ponto, está todo abaixo da linha tangente, portanto, o gráfico é côncavo na vizinhança desse ponto. Note quão cuidado está sendo tomado para limitar a discussão de concavidade para a parte da função perto do ponto a ser considerado. Suponha que a função é um polinômio de ordem superior, que assume a forma de uma curva com 2 ou mais pontos de viragem. Seria fácil imaginar uma função onde a parte estivesse abaixo da linha tangente horizontal, virada novamente, e voltou atrás da linha. A definição de concavidade refere-se apenas à parte da função perto do ponto onde a linha tangente toca a curva, não é necessário para manter em toda parte na curva. Considere a própria linha tangente. Recorde da seção anterior sobre funções lineares que a inclinação de uma linha ou função horizontal é igual a zero. Portanto, a inclinação no topo ou ponto de viragem desta função côncava deve ser zero. Outra maneira de ver isso é considerar o gráfico à esquerda do ponto de viragem. Observe que a função é inclinada para cima, ou seja, tem uma inclinação maior que zero. A seção do gráfico à direita do ponto de viragem é inclinada para baixo e tem inclinação negativa, ou uma inclinação menor que zero. Ao observar o gráfico da esquerda para a direita, você pode ver que a inclinação é primeiro positiva, torna-se um número positivo menor quanto mais próximo você estiver do ponto de viragem, é negativo à direita do ponto de viragem e se torna um negativo maior Número, mais você viajar a partir do ponto de viragem. Uma vez que esta é uma função contínua, deve haver um ponto onde a inclinação cruza de positivo para negativo. Em outras palavras, por um instante, a inclinação deve ser zero. Este ponto já identificamos como o ponto de viragem. Existe uma maneira muito mais fácil de identificar o que está acontecendo, no entanto. Lembre-se que as segundas derivadas dão informações sobre a mudança de declive. Podemos usar isso em conjunto com a primeira derivada em pontos crescentes de x (conforme você viaja da esquerda para a direita no gráfico) para determinar as características de identificação das funções. Observe que uma derivada secundária negativa significa que a primeira derivada está sempre diminuindo para uma dada mudança (positiva) em x, ou seja, à medida que x aumenta (sempre lendo o gráfico da esquerda para a direita ). Se a primeira derivada é sempre decrescente, E sabemos que ela passa por zero no ponto de viragem, então tem que ser o caso que a função é côncava na vizinhança do ponto de viragem - ou seja. O ponto de viragem é um ponto máximo. A fim de apreciar completamente este resultado, vamos considerar o oposto - uma função convexa, ou seja, uma função que está acima da linha que é tangente ao ponto de viragem, na vizinhança desse ponto. Movendo da esquerda para a direita, observe que a inclinação é negativa, passa por zero no ponto de viragem e, em seguida, torna-se positiva. Portanto, seria de esperar que a função subjacente seja uma onde a primeira derivada é zero no ponto de viragem, com uma segunda derivada positiva na vizinhança do ponto de viragem, indicando uma inclinação crescente. Estas duas condições são características de uma função com um ponto mínimo. Estas características de derivadas de primeira e segunda ordem não apenas descrevem funções com pontos máximos e mínimos, mas são suficientes para provar que os pontos considerados são pontos máximos ou mínimos. Vamos examinar as características: Um mínimo relativo no ponto xa terá as derivadas f (a) 0 e f (a) gt 0. Um máximo relativo no ponto xa terá as derivadas f (a) 0 e f (a) lt 0 Observe que a palavra relativa é usada para indicar um ponto máximo ou mínimo na vizinhança do ponto (xa). Somente se puder ser provado que um e somente um max ou min existe pode ser considerado o ponto optimal absoluto. Para nossos propósitos, isso só ocorrerá se a segunda derivada for uma constante, ou seja, a função passa pelo ponto de viragem apenas uma vez e, portanto, tem apenas um máximo ou mínimo. Otimização sem restrições Agora que podemos usar a diferenciação para coletar tanta informação sobre as características das funções, a otimização das funções econômicas será muito direta. Dada uma função contínua e diferenciável, siga estas etapas para encontrar o máximo ou mínimo relativo de uma função: 1. Tome a primeira derivada de uma função e encontre a função para a inclinação. 2. Defina dydx igual a zero e resolva para x obter o ponto crítico ou pontos. Esta é a condição necessária de primeira ordem. 3. Tome a segunda derivada da função original. 4. Substitua o x do passo 2 pela segunda derivada e resolva, prestando especial atenção ao sinal da segunda derivada. Isto é também conhecido como avaliação da segunda derivada no ponto crítico (s), e fornece a condição suficiente de segunda ordem. 5. Use as seguintes características para determinar se a função avaliada no ponto crítico ou pontos é um máximo ou máximo relativo: Provavelmente você sempre exercerá em funções onde o máximo ou mínimo existe, mas tenha em mente que você estará fazendo pública Política no mundo real. Só porque você está procurando uma quantidade que otimiza o lucro ou o nível de produção que minimiza o custo doesnt significa que realmente existe. É por isso que você sempre precisa seguir todas as etapas e confirmar todos os resultados com as condições necessárias e suficientes. (Especialmente certificando-se de que seu ponto ideal é o tipo que você precisa, ou seja, um máximo se youre maximização e um mínimo se youre minimização) Considere os exemplos a seguir. Exemplo 1: Encontre os valores críticos da função a seguir e teste para determinar se a função é convexa ou côncava e tem um máximo ou mínimo relativo: Solução 1: Tome a primeira derivada e simplifique e, em seguida, resolva o valor crítico. Este é o valor de x onde a inclinação da função é igual a zero: Avaliar a função no ponto crítico determinado acima (este não é um passo necessário, mas para a prática e dar contexto bem para resolvê-lo): Agora, determine A segunda derivada e avaliá-la no ponto crítico: A segunda derivada é sempre negativa, independentemente do valor de x. Isso nos dá duas informações. Primeiro, que a função tem um máximo relativo (isto é, é côncava), e segundo, que a segunda derivada constante implica um único ponto de viragem, e, portanto, o máximo relativo é também um máximo absoluto. Exemplo 2: Dada a seguinte função de custo total, determine o nível de produção que minimiza o custo médio e o nível que minimiza o custo marginal: Solução 2: Converta a função de custo total em uma função de custo médio dividindo por Q: Agora, Para minimizar a função de custo médio, siga as etapas listadas acima. Comece por tomar a primeira derivada, colocando-a igual a zero e resolvendo para pontos críticos Q: Quando Q 12, a função de custo médio atinge uma optima relativa agora nós testamos a concavidade tomando a segunda derivada do custo médio: Observe a segunda derivada É positivo para todos os valores de Q, incluindo o ponto crítico Q 12, portanto pelo teste de segunda ordem, a função tem um mínimo relativo no ponto crítico. Uma vez que a segunda derivada é constante, o mínimo relativo é também um mínimo absoluto. Note que fomos capazes de provar que o custo médio é minimizado quando Q é 12, sem ter que realmente determinar o custo médio. Agora, para minimizar o custo marginal. A partir do custo total da função original, tomar a primeira derivada para obter a função para a inclinação, ou taxa de variação do custo total para uma determinada mudança em Q, também conhecido como custo marginal. Agora, siga os passos para minimizar a função de custo marginal. Mesmo que MC seja a função para a inclinação do custo total, ignore-a e trate-a como uma função autônoma, e tome as derivadas de primeira e segunda ordem de acordo com as etapas de otimização. Quando Q é igual a 8, a função MC é otimizada. Teste para max ou min: A segunda derivada de MC é positiva para todos os valores de Q, portanto a função MC é convexa e está em um mínimo relativo quando q é igual a 8. Exemplo 3: Encontre os pontos ótimos da função lucro E determinar que nível de produção Q maximizará o lucro. Comece pela primeira e segunda derivada: Defina a primeira derivada igual a zero e resolva pontos críticos: Use a equação quadrática para resolver a equação acima. Observe que há 2 pontos críticos, mas do ponto de vista econômico, apenas um está disponível para nós como uma solução para o nosso problema, uma vez que não podemos produzir uma quantidade negativa. Avaliar a segunda derivada em Q é igual a 24 para determinar a concavidade. A segunda derivada é menor que zero, o que significa que nossa função é côncava e tem um máximo relativo quando Q é igual a 24. Uma última nota: o título desta seção foi otimização sem restrições. A palavra sem restrições refere-se ao fato de que não colocamos restrições sobre as relações funcionais que estávamos otimizando. Em outras palavras, assumimos que qualquer nível da variável x estava disponível para nós, com a exceção do mundo real de valores negativos de quantidades físicas (recall Q -40 foi descartado). Claro, isso não é realista, e como nossos modelos se tornam mais realistas na seção multivariada, vamos adicionar restrições aos nossos problemas de otimização. Não há nenhum ponto em fazer otimização restrita em processos univariados, porque é sempre mais fácil de incorporar a restrição dentro de uma das equações e usar o mesmo processo como descrito nesta seção.100 anos de história do mercado de ações (gráfico de log) Em tempos de turbulência , Como uma crise financeira, procuro uma dessas grandes cartas com uma seta que diz, 8220Você está aqui.8221 É nesse espírito que eu ofereço o seguinte gráfico de log de longo prazo resumindo mais de 100 anos de DJIA (Dow Jones Industrial Average) histórico de desempenho. Vou adiar a maior parte da minha análise até mais tarde, e para este post dependem principalmente do que um dos meus professores de estatística costumava chamar de trauma 8220interocular. Dow Jones 100-Year Stock Market History Chart Índice Dow 100-Year History Chart Desempenho do mercado de ações desde 1900 tem alternado entre excitação e desinteresse Acima é um gráfico do desempenho do mercado de ações (Dow Jones) desde 1900 (clique na imagem para ampliá-lo). Mostra os preços de fechamento de fim de ano até 2017. (Veja Retornos anuais para um gráfico de barras dos retornos cada ano.) Enquanto alguns descrevem esta história como uma tendência ascendente constante a longo prazo, parece-me mostrar períodos alternados de excitação e desinteresse. Por exemplo, os períodos de 821733 a 821765 e de 821782 a 821799 foram períodos de excitação. De 821733 a 821765 o retorno médio foi de cerca de 7 por ano, mais os dividendos - para um total de aproximadamente 10. De 821782 a 821799 o retorno médio foi de cerca de 15 por ano, novamente mais dividendos 8211 embora os dividendos nas últimas décadas foram significativamente menores do que Eles estavam em décadas anteriores. Por outro lado, o fim de 1905 de 96 não foi permanentemente eclipsado até 28 anos mais tarde - 1933 o fechamento de 1965 de 969 não foi permanentemente eclipsado até 17 anos depois - 1982. Eu uso a palavra 8220disinterest8221 para caracterizar estes Períodos planos longos. (Nota: Este é um gráfico de log. Se você não estiver familiarizado com eles, consulte Sobre Gráficos Log Stock Market). A longo prazo, você esperaria que o desempenho do mercado de ações deve aproximar o desempenho das empresas subjacentes. Portanto, uma interpretação óbvia do gráfico é que o mercado de ações periodicamente fica à frente de si mesmo, aumentando mais rápido do que as empresas subjacentes e, em seguida, tem que esperar para o valor 8220real8221 das empresas subjacentes para recuperar o atraso durante os longos períodos de 8220desinterest .8221 Se esse for o caso, poderíamos estar em outro desses períodos de desinteresse8221 - embora quando você realmente esteja em um desses períodos, você pode encontrar outras palavras mais descritivas8230. Nota: A tabela e discussão acima ignoram o impacto da inflação. Para ver os longos períodos fixos ajustados para a inflação, ver 100 Anos de História do Mercado de Ações Ajustado à Inflação. Adição da Média Móvel de 25 Anos como Nível de Apoio O posto de Março de 2017 sobre o Desempenho do Mercado de Valores inclui uma recapitulação do mês mais recente e do ano até à data, mais comparações com dados importantes Marcos históricos, como máximos históricos e mínimos de colisão. Além disso, inclui a projeção mais recente para retornos de mercado de 10 anos. A média móvel de 25 anos pode ser uma adição útil ao gráfico acima. Conforme discutido no Dow 25-Year Moving Average History. O mercado muito raramente caiu abaixo de sua média móvel de 25 anos. Ou seja, historicamente, esta média móvel tem sido um nível de suporte confiável durante os mercados ursos seculares. Esse gráfico é atualizado com pouca freqüência, conforme apropriado. Oh, o que é traumas interoculares8221 Foi o falecido professor Harry Roberts8217 maneira de dizer 8220it bate-lo direito entre os olhos.8221 Leitura recomendada: Outros perspectiva de longo prazo postos 100 anos de obrigações do Tesouro Taxas de juros. Perspectiva semelhante sobre as taxas de juros. Histórico de Ações Ajustado à Inflação. Como este post, mas ajustado pela inflação. E, outra perspectiva de abertura dos olhos sobre os longos períodos planos. 100 Anos de História de Preços de Habitação. Gráfico do índice de preços da habitação desde 1900. Comparando Habitação vs. Crescimento do Mercado de Valores. Mostra o crescimento do mercado a longo prazo, incluindo os dividendos reinvestidos (o gráfico acima exclui os dividendos). História Anual do Retorno Dow. Gráfico de barras do retorno total anual (isto é, incluindo dividendos) a partir de 1929. Dow PriceEarnings Ratio História Desde 1929 - Gráfico Anual. Perspectiva semelhante na relação PE. Olhares mais atentos às bolhas, alternando o interesse do excitamento, ampères períodos planos longos Gráfico de 1929 Crash do mercado de valores de acção para um olhar mais atento em 1929-1932. Os 25 melhores ampères Worst Annual Stock Market Returns. Um olhar mais atento em retornos de um ano. Empréstimos Retorna do Futuro. O preço do desempenho extraordinário atual pode ser diminuição rendimentos futuros. Índice Dow Índice de fechamento ajustado pela inflação. Impacto do reajuste inflacionário sobre os prazos longos. A Composição dos Retornos de 10 Anos. Perspectiva adicional sobre o fenômeno de excitação e desinteresse alternados. Exuberância irracional. Livro de Robert Shiller8217s que discute as causas das bolhas, e presaging o estouro da bolha da tecnologia em 2000. Whos receoso de um mercado lateral. Interessante perspectiva em longos períodos planos da Morningstar. Para outras publicações populares, consulte a barra lateral à esquerda ou o cabeçalho do blog. Dados e cálculos Para aqueles que gostariam de realizar análises adicionais, consulte esta postagem para um link para os dados de encerramento do Dow Jones e os cálculos associados. A planilha calculará automaticamente a taxa de crescimento de Dows entre dois anos de entrada (por exemplo, retorno médio do mercado de ações entre 1982 e 1999, incluindo dividendos). Copyright 169 2017. Última modificação: 3302017 Compartilhe este artigo Marcar como favorito em Delicious Para compartilhar no Facebook, Twitter, etc. veja os links abaixo Anon, Os dados são de uma planilha que eu criei (manualmente) algum tempo na década de 1990. I39m virtualmente certo de que os dados originais (através de 1989) vieram de Barron39s Finanças amp Investment Handbook (Terceira Edição). Os dados desde então são de alguma combinação de Barron, Morningstar eo jornal local de onde sempre eu estava vivendo naquele tempo. Adivinhando isso não te ajuda muito. Então, vou ver se consigo descobrir como publicar uma planilha. Pode demorar um pouco. O banco central projetou imprudentemente uma enorme bolha para formar a partir da década de 1980, tão grande que anula a bolha dos anos 1920. Qualquer um que pensa we39re sair desta ok precisa de re examinar os fatos. Todas as tentativas atuais tais como re inflar esta bolha, como o contribuinte subsidiado auto, vendas de casa e aparelho só vai acelerar o dia em que os Estados Unidos anteriores está à mercê do mundo. Concordo com sua análise até o ponto em que estamos agora. No entanto, o problema é que estamos enviando empregos no exterior em uma taxa alarmante. O que costumava ser as empresas americanas são agora multinacionais, e essas empresas mudaram as operações para a China e em outros lugares. A longo prazo, à medida que essa tendência se expande, os Estados Unidos enfrentarão a deflação quando os valores diminuírem e os salários caírem. Ao mesmo tempo, o governo americano removeu a maioria das salvaguardas postas em prática após a Grande Depressão e, assim, colocou-nos em uma posição para os bancos e casas corretoras de falhar. A menos que os regulamentos que fazem bancos, bancos e limitando seu tamanho e função, e casas de corretagem não são permitidos para ser bancos, nosso sistema financeiro não será som. Muito aprecio sua análise aqui. É agora mais de um ano depois, como você acha que a situação mudou? Não sei se entendi sua pergunta, mas vou tentar responder de qualquer maneira. O valor de olhar para gráficos de 100 anos é que um ano adicional não muda muito. Essa é a vantagem de olhar para a história a partir dessa perspectiva ampla. Quando eu atualizar o gráfico de 100 anos no final do ano, para mim ele won39t olhar significativamente diferente da forma como parecia um ano atrás. Como resultado, minha interpretação é provável que seja a mesma - I39ll ainda ver a história do mercado de ações como consistindo de períodos de excitação seguida de períodos quotlong (relativamente) plana, onde as empresas subjacentes têm de pegar até um mercado de ações antes eufórico. Então, eu não ficaria surpreso se anos a partir de agora uma alma like-minded fazendo uma análise semelhante chegou a uma conclusão semelhante. Nesse sentido, a situação permanece inalterada. Mas, entenda que o que parece tardio não necessariamente se sente assim quando você está no meio dela. Por exemplo, 1973-74 foram horríveis anos para o mercado de ações 1975-76 foram muito agradáveis. Em retrospectiva, tendo a visão grande, todos esses anos foram parte de um período longo e plano. Assim, mesmo nestes períodos planos há oportunidades de fazer, ou perder, um monte de dinheiro a curto prazo. Desse ponto de vista, fica claro que a situação mudou porque investir há um ano teria produzido melhores resultados do que investir agora. Imagino que você já sabia disso.
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